miércoles, 27 de mayo de 2009

CONVOLUCION DISCRETA

REPRESENTACIÓN DE UN SISTEMA DISCRETO MEDIANTE SU RESPUESTA AL IMPULSO

Convolución discreta

Habíamos visto que una forma de representar un sistema es a través de su respuesta en frecuencia o función transferencia; existe otra forma de caracterizar un sistema, en el dominio del tiempo y es mediante su respuesta al impulso. Es decir:

Cuando x[n]= δ [n], la salida y[n], la cual llamaremos h[n], será la respuesta al impulso o respuesta impulsiva. Como el sistema es lineal e invariante en el tiempo, la respuesta a

x[n] = Aδ[n-k] será Ah[n-k]

Esto nos permitirá conocer la respuesta a cualquier entrada arbitraria x[n] ya que siempre podemos expresar a x[n] como:

x[n] = ∑ Ak.δ[n-k]

Por lo tanto aplicando superposición:

y[n] = ∑ Ak.h[n-k]

Esto se conoce como convolución discreta o suma de convolución entre la entrada (definida por los Ak) y la respuesta impulsiva h[n]


y[n] = x[n]* h[n]


La convolución discreta tiene las siguientes propiedades:


1. Conmutatividad:

x[n]*y[n]= y[n]*x[n]

2. Asociatividad:

(x[n]*y[n]*w[n] = x[n]*(y[n]*w[n])


Esto es aplicable por ejemplo si queremos determinar la salida para la cascada de 2 sistemas con respuesta impulsiva h1[n] y h2[n] respectivamente. Esta propiedad permite concluir que el orden de colocación de los sistemas no es importante.



(x[n]* h1[n])*h2[n] =(x[n]* h2[n])*h1[n]


3. Distributividad:

(x[n]+y[n])*w[n] = x[n]*w[n] + y[n]*w[n]


Esta propiedad nos permite determinar la salida cuando la señal de entrada pasa

por dos sistemas conectados en paralelo.


Ejemplo: Un sistema con respuesta h[n] es alimentado con una señal x[n], tal y como se muestra a continuación.


Determine la salida y[n] de dicho sistema mediante convolución.




Pasos para resolver la convolución discreta.

1.- Se cambia la variable n por k (x[n] →x[k]) y (h[n]→h[k]) y se refleja h[k] es decir h[-k]



2.- Se debe desplazar h[-k] n unidades, es decir, h[n-k], consiguiendo h[-(k-n)]


3.- Buscar los intervalos para los cuales x[k].h[n-k] = 0, para hallar el comienzo y fin de la convolución.


Para determinar estos valores se grafica dejando x[n] en su lugar y dibujando h[n-k] hacia la izquierda y derecha de x[n].


Como sigue a continuación:



Para que x[k].h[n-k] = 0, hacia la izquierda n+1<0


n < -1



Para que x[k].h[n-k] = 0, hacia la derecha n-1>2


n > 2+1


n>3


Por lo tanto, la convolución comenzará en n = -1 y terminará en n=3.


4.- Luego se deben multiplicar x[k].h[n-k], solo desplazando h[n-k] hacia la derecha. En este caso desde n= -1 hasta n = 3



Para n=-1



y[-1]= 4 x 10 = 40


Para n = 0



y[0]= 4 x 20 + 3 x 10= 110


Para n = 1


y[1]=4 x 10 + 3 x 20 + 2 x 10 = 120


Para n = 2



y[2]=3 x 10 + 2 x 20 = 70


Para n = 3




y[3]= 2 x 10= 20


Señal: y[n] = x[n]* h[n]



14 comentarios:

  1. Hola profesora Gloria me parece muy bueno el material, el cual trararé de complementar con alguna otra información adicional que logre conseguir por internet. Muchas gracias. Nos seguiremos viendo

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  2. profesora saludos es Yonder Casanova C.I. 16.595.575 g-002 telecomunicaciones

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  3. yurismar Guzmàn
    C.I:20.696.753
    Secciòn:001-d-ing en telecomunicaciones

    hola buenas tardes profesora el material que publico es muy bueno

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  4. buenas tardes prof, esta es mi asistencia de la semana

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  5. Buenos dias

    Maria K. Marquez G.
    C.I.19.230.388

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  6. no puedo irme de este site sin , dejarle mis agradecimientos por subir esta información que para mi resulta valiosisima.
    soy estudiante de robotica y curso el ramo de procesamiento de señales,he tratado de encontrar informcion en todos lados respecto de suma de convolucion y no he encontrado un lugar donde me quede claro como acá, muchisimas gracias en verdad me ha sido de extrema ayuda.
    bendiciones
    santiago mandiola

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  7. Muchas gracias!! Llevaba un año sin tocar convoluciones y este año para la asignatura Señales y Sistemas II de ingeniería de telecomunicación me hacía falta. Me ha recordado el concepto perfectamente! Muchas gracias de nuevo!

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  8. Buenas, soy estudiante de telecomunicaciones y estoy dando sistemas lti y convoluciones en este momento. La verdad, con esta explicación me ha quedado más claro que leyendo en algunos libros, donde profundizan demasiado y se ponen muy técnicos sin dejar muy clara la metodología para resolver esta clase de problemas. Por otro lado, es una pena que hayas limitado el artículo a las convoluciones discretas, dejando de lado las continuas. Aún así, muchísimas gracias por el material, me ha sido de gran utilidad, saludos!

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  9. hee profe y como desarrollo la expresion matematica... gracias

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  10. hol, me gustaría saber que es lo que pasa cuando la señal que se invierte para hacer la convolución no tiene ninguna delta en 0, es decir, a qué se le llama n...

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  11. Hola Gloria, Soy Alberto Yánez Ing. Electrónico UNET egresado en 2009. Te queria preguntar en que libro puedo encontrar diagramas de respuestas impulso, que se relacionen con convolución, pero en términos de [n], por decir, algunas reglas que me especifiquen cual es la convolución, por ejemplo impulso[n]*escalon[n]= escalon[n]

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  13. Gracias, me ayudó muchísimo. Atículos como este inspiran a hacer lo mismo.

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  14. Muchas Gracias. Por fin he entendido la dichosa convolución.

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