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lunes, 8 de junio de 2009
EJERCICIOS Y TRABAJO
Ejercicios
miércoles, 27 de mayo de 2009
CONVOLUCION DISCRETA
REPRESENTACIÓN DE UN SISTEMA DISCRETO MEDIANTE SU RESPUESTA AL IMPULSO
Convolución discreta
Habíamos visto que una forma de representar un sistema es a través de su respuesta en frecuencia o función transferencia; existe otra forma de caracterizar un sistema, en el dominio del tiempo y es mediante su respuesta al impulso. Es decir:
Cuando x[n]= δ [n], la salida y[n], la cual llamaremos h[n], será la respuesta al impulso o respuesta impulsiva. Como el sistema es lineal e invariante en el tiempo, la respuesta a
x[n] = Aδ[n-k] será Ah[n-k]
Esto nos permitirá conocer la respuesta a cualquier entrada arbitraria x[n] ya que siempre podemos expresar a x[n] como:
x[n] = ∑ Ak.δ[n-k]
y[n] = ∑ Ak.h[n-k]
Esto se conoce como convolución discreta o suma de convolución entre la entrada (definida por los Ak) y la respuesta impulsiva h[n]
y[n] = x[n]* h[n]
La convolución discreta tiene las siguientes propiedades:
1. Conmutatividad:
x[n]*y[n]= y[n]*x[n]
(x[n]*y[n]*w[n] = x[n]*(y[n]*w[n])
Esto es aplicable por ejemplo si queremos determinar la salida para la cascada de 2 sistemas con respuesta impulsiva h1[n] y h2[n] respectivamente. Esta propiedad permite concluir que el orden de colocación de los sistemas no es importante.
(x[n]* h1[n])*h2[n] =(x[n]* h2[n])*h1[n]
3. Distributividad:
(x[n]+y[n])*w[n] = x[n]*w[n] + y[n]*w[n]
Esta propiedad nos permite determinar la salida cuando la señal de entrada pasa
por dos sistemas conectados en paralelo.
Ejemplo: Un sistema con respuesta h[n] es alimentado con una señal x[n], tal y como se muestra a continuación.
Determine la salida y[n] de dicho sistema mediante convolución.
Pasos para resolver la convolución discreta.
Para determinar estos valores se grafica dejando x[n] en su lugar y dibujando h[n-k] hacia la izquierda y derecha de x[n].
Como sigue a continuación:
Para que x[k].h[n-k] = 0, hacia la izquierda n+1<0
n < -1
n > 2+1
n>3
4.- Luego se deben multiplicar x[k].h[n-k], solo desplazando h[n-k] hacia la derecha. En este caso desde n= -1 hasta n = 3
Para n=-1
y[-1]= 4 x 10 = 40
Para n = 0
y[0]= 4 x 20 + 3 x 10= 110
Para n = 1
y[1]=4 x 10 + 3 x 20 + 2 x 10 = 120
Para n = 2
y[2]=3 x 10 + 2 x 20 = 70
Para n = 3