REPRESENTACIÓN DE UN SISTEMA DISCRETO MEDIANTE SU RESPUESTA AL IMPULSO
Convolución discreta
Habíamos visto que una forma de representar un sistema es a través de su respuesta en frecuencia o función transferencia; existe otra forma de caracterizar un sistema, en el dominio del tiempo y es mediante su respuesta al impulso. Es decir:
Cuando x[n]= δ [n], la salida y[n], la cual llamaremos h[n], será la respuesta al impulso o respuesta impulsiva. Como el sistema es lineal e invariante en el tiempo, la respuesta a
x[n] = Aδ[n-k] será Ah[n-k]
Esto nos permitirá conocer la respuesta a cualquier entrada arbitraria x[n] ya que siempre podemos expresar a x[n] como:
x[n] = ∑ Ak.δ[n-k]
y[n] = ∑ Ak.h[n-k]
Esto se conoce como convolución discreta o suma de convolución entre la entrada (definida por los Ak) y la respuesta impulsiva h[n]
y[n] = x[n]* h[n]
La convolución discreta tiene las siguientes propiedades:
1. Conmutatividad:
x[n]*y[n]= y[n]*x[n]
(x[n]*y[n]*w[n] = x[n]*(y[n]*w[n])
Esto es aplicable por ejemplo si queremos determinar la salida para la cascada de 2 sistemas con respuesta impulsiva h1[n] y h2[n] respectivamente. Esta propiedad permite concluir que el orden de colocación de los sistemas no es importante.
(x[n]* h1[n])*h2[n] =(x[n]* h2[n])*h1[n]
3. Distributividad:
(x[n]+y[n])*w[n] = x[n]*w[n] + y[n]*w[n]
Esta propiedad nos permite determinar la salida cuando la señal de entrada pasa
por dos sistemas conectados en paralelo.
Ejemplo: Un sistema con respuesta h[n] es alimentado con una señal x[n], tal y como se muestra a continuación.
Determine la salida y[n] de dicho sistema mediante convolución.
Pasos para resolver la convolución discreta.
Para determinar estos valores se grafica dejando x[n] en su lugar y dibujando h[n-k] hacia la izquierda y derecha de x[n].
Como sigue a continuación:
Para que x[k].h[n-k] = 0, hacia la izquierda n+1<0
n < -1
n > 2+1
n>3
4.- Luego se deben multiplicar x[k].h[n-k], solo desplazando h[n-k] hacia la derecha. En este caso desde n= -1 hasta n = 3
Para n=-1
y[-1]= 4 x 10 = 40
Para n = 0
y[0]= 4 x 20 + 3 x 10= 110
Para n = 1
y[1]=4 x 10 + 3 x 20 + 2 x 10 = 120
Para n = 2
y[2]=3 x 10 + 2 x 20 = 70
Para n = 3